<사고력 훈련 문제 #8>: 정방 밴드 행렬(square band matrix)

# 정방 밴드 행렬 문제

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 문제) 정방 밴드 행렬(square band matrix) $D_{n,a}$ 란 0이 아닌 모든 항들이 주대각선을 중심으로 한 밴드에 있는 $n$$\times$$n$  행렬이다. 밴드는 아래의 그림과 같이 주대각선과 주대각선의 위와 아래에 $a-1$ 개의 대각선을 포함한다.

 $D_{n,a}$의 밴드 안에 있는 원소의 개수를 구하는 식을 작성해보아라. 또한 $D_{n,a}$의 밴드 안에 있는 원소 $d_{i,j}$에서 i와 j는 어떤 관계인지도 서술해라.

# 풀이

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 이 문제 또한 손으로 직접 써 보다 보면 규칙성이 보이는 문제고, 그 규칙성을 식으로 정리하면 된다. 주대각선의 특징부터 살펴 보면, 행렬의 크기가 $n$이라고 했을 때, $n$개의 원소를 갖는다. 

 주대각선을 제외하고, 그 아래 위로 대각선이 추가될 때마다 원소의 개수가 하나 씩 줄어가는데, 하나 씩 줄어가는 걸 $i$ 라고 표현하면 $n - i$로 표현할 수 있다. 또한 위 아래로 대각선이 있는 것이기 때문에 앞에 2를 곱해준다.

 위에서 설명한 점을 감안하여 아래 공식 유도 과정을 살펴보면 이해가 잘 될 것이다.

$2($  $sum_{i=1}^{a-1} {(n-i)}$ $)$ $+n = 2(n(an-1)-$ $\frac{(a-1)a)} {2}$ $) + n$

= $2n(a-1) - (a-1)a + n$

= $2na - 2n - a^2 + a + n$

= $2na - n - a^2 + a$

 따라서 첫 번째 물음에 대한 답은 위의 공식유도 과정을 통해 도출된 식을 쓰면 된다. 두 번째 물음에 대한 답은 아래와 같다.

$d_{i,j}$ 에서 i와 j의 관계를 물었다. // 여기서 i는 행을 뜻하고, j는 열을 뜻한다.

위의 그림을 참고하여 하위 밴드와 상위 밴드를 살펴보자. 

먼저 하위 밴드의 경우이다. // 중앙대각선은 제외한다. 그래서 조건에는 $i, j < n$ 조건을 취한다.

하위 밴드에 있는 원소 중 어떤 원소를 선택하든 행 i가 열 j보다 항상 크게 되어 있다.

마찬가지로 상위 밴드의 경우, 열 j가 행 i보다 항상 크게 되어 있다. 따라서 아래와 같은 관계를 도출할 수 있다.

하위 밴드에서 j < i 이고 상위 밴드에서 i < j 이다.